Wiskunde op de bovenbouw

Op de bovenbouw van de Vrije School in Bergen, de Adriaan Roland Holst-school krijgen de leerlingen tot en met de twaalfde klas wiskunde. Een van de wiskundeleraren daar is Ben Geels. Kort na de oprichting van de school is Ben er als leraar wis- en natuurkunde terecht gekomen.

Hoe is hij in het Vrije Onderwijs terecht gekomen? Al tijdens zijn natuurkundestudie aan de Rijksuniversiteit in Utrecht kwam hij in aanraking met de antroposofie. Hij nam deel aan antroposofische studiegroepen en viel een poos in op de Zeister Vrije School als wis- en natuurundeleraar.

Tijdens zijn studie had hij didactiek-onderwijs gehad en stage gelopen op een paar middelbare scholen, maar hij was er allemaal niet erg van onder de indruk. Op de Vrije School bleek het er heel anders aan toe te gaan. De omgang tussen leraren en leerlingen, de hele sfeer, was zo anders en zo prettig, dat hij dacht: "Op zo'n school wil ik werken!" Daarom volgde hij nog voor zijn afstuderen een cursus voor bovenbouw-leraar aan de Vrije School.

Ben kreeg een baan voor 2 uur per week aan de Adriaan Roland Holstschool. Verder werkte hij aan het Jan van Scorelcollege; hij kan dus heel goed zien waarin het Vrije School onderwijs verschilt van het reguliere. In het reguliere onderwijs begint de echte wiskunde pas in de brugklas; er wordt op de lagere school wel gerekend, maar er wordt geen vormbesef aangekweekt.

Op de Vrije School is dat anders. Al in de zesde klas beginnen de kinderen met symmetrie-oefeningen, maar nog eerder zijn deze voorbereid bij eurithmie en vormtekenen. De kinderen hebben de ruimte leren beleven bij het pentagram lopen, het zit als het ware in ze. Zo zijn ook het klappen en stampen van de tafels, waarin het ritme van de getallenwereld voelbaar wordt, voor-oefeningen van de wiskunde. Je kunt dus niet zeggen, dat de kinderen onvoorbereid in de achtste klas komen. Eigenlijk zijn ze al jaren met getal, ritme en vorm bezig voordat ze op de bovenbouw komen. Het onderwijs op de bovenbouw sluit daar op aan.

De vorming in wiskunde duurt op de Vrije School dus 12 jaar: van eenvoudig, voorbereidend, tot wiskunde met imaginaire en complexe getallen. Wiskunde wordt op de bovenbouw in alle klassen zowel in periode-onderwijs als in vaklessen gegeven. Tijdens het periode-onderwijs wordt steeds een nieuw begrip geïntroduceerd, waarmee tijdens de vaklessen geoefend wordt. Bij die introductie van nieuwe onderwerpen wordt de mensheidsontwikkeling gevolgd. Dat gebeurt al op de onder-bouw. Er wordt eerst gerekend met hele getallen, net als de Egyptenaren dat deden. Deze hadden slechts een eenvoudig breukenbegrip; zo konden ze wel begrijpen wat 1/7 van iets was, maar iets als 6/7 ging hun begrip te boven.

De Grieken kenden dat ingewikkelde gedoe met breuken wel; onze kinderen kunnen het begrijpen als ze in de vierde / vijfde klas zitten, en dan wordt er dus ook met ingewikkelde breuken gerekend. Zo is het ook met de negatieve getallen. Die werden pas in de middeleeuwen in Europa begrepen, toen kwam men erachter dat 4 - 6 ook uit te rekenen is. Voor de kinderen is dat net zo'n grote ontdekking!

Het wiskunde-onderwijs in de achtste klas sluit direct aan bij de zevende klas; er worden geen echt nieuwe begrippen geïntroduceerd wat betreft de getallenleer. In de negende klas zijn de leerlingen er aan toe om probleemoplossend te denken, dat wil zeggen iets uit te denken zonder dat het proefondervindelijk bewezen kan worden. Een oefening daarbij is de volgende: alle kinderen worden het lokaal uitgestuurd om opnieuw binnen te komen en op een andere plaats te gaan zitten. Hoe vaak moet je dat doen, om achter alle denkbare mogelijkheden komen? Als je een probleem als dit proefondervindelijk wilt aantonen ben je wel een aantal weken bezig. Praktischer is het dan om een formule te vinden, die je helpt in een paar minuten deze vraag te beantwoorden.

Ook worden in de negende klas de wortelvormen, die niet samen-vallen met kwadraten behandeld. Voor de Grieken vormden deze nog een groot mysterie, maar onze negende klassers kunnen er wel mee uit de voeten. In de tiende klas gaan de leerlingen aan de gang met stereometrie. Het gaat erom dat ze zelf tot inzicht komen, dat ze zelf bijvoorbeeld alle mogelijke snijlijnen in een kubus ontdekken. Op het moment dat leerlingen voortdurend in discussie willen gaan, in de elfde klas, wordt de oneindige lijnen behandeld. Blijven twee paralelle oneindige lijnen tot in de oneindigheid naast elkaar lopen, of raken ze elkaar toch ergens? In de twaalfde klas komen ze erachter dat sommige dingen ook ons begrip te boven gaan, dat bij voorbeeld de wortel uit -2 niet bestaat, dat we ons dat althans nauwelijks kunnen voorstellen. We hebben het dan over imaginaire getallen. Ook wordt er gewerkt met complexe getallen, die samengesteld zijn uit een reëel getal en een imaginair getal. Voor al deze getallen gelden overigens de gewone rekenregels.